Ecuaciones Lineales con Dos Variables
Manual paso a paso para estudiantes de GED de E-Group Tech Servicers Inc.
Guía para Resolver Ecuaciones Lineales con Dos Variables
Manual paso a paso para estudiantes de GED de E-Group Tech Servicers Inc.
¿Qué es una ecuación lineal con dos variables?
Una ecuación lineal con dos variables es un enunciado matemático que iguala dos expresiones, como 4x + 2y = 14, cuyos términos están compuestos por valores numéricos y productos de constantes y variables. En un término puede haber solo una variable, como x o y, pero no ambas . Un sistema de ecuaciones lineales con dos variables suele resolverse aplicando:
- • el método de la sustitución, en el que se resuelve una de las ecuaciones para hallar una variable y se reemplaza esa variable con el valor en la ecuación original para hallar la segunda variable; o
- • el método de la combinación lineal, o eliminación, en el que una o ambas ecuaciones se multiplican por una constante para producir nuevos coeficientes que son opuestos, de modo que una variable se puede cancelar y la ecuación resultante se puede resolver para hallar la otra variable.
Una ecuación lineal con dos variables tiene la forma:
\begin{equation*} Ax + By = C \end{equation*}
Donde: x y y son las variables. A, B y C son coeficientes o constantes.
Métodos para resolver ecuaciones lineales con dos variables
- Método de sustitución: Despeja una variable y reemplázala en la otra ecuación.
- Método de eliminación: Suma o resta las ecuaciones para eliminar una variable.
Ejemplo 1: Método de Sustitución
Ecuación:
\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} 2x + y &= 8 \\ x - y &= 1 \end{aligned} \right. \end{equation*}
Paso 1: Despeja y en la segunda ecuación: $$ y = x - 1 $$
Paso 2: Sustituye en la primeta ecuación: $$ 2x + (x - 1) = 8 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3 $$
Paso 3: Reemplaza x = 3 : $$ y = 3 - 1 = 2 $$
Soluciónes: x = 3, y = 2.
Verificación: substituir los valores de "x" y "y" en las ecuaciones- (1ra ecuación): 2(3) + 2 = 8 \
- (2da Ecuación): 3 - 2 = 1 \
Ejemplo 2: Método de Eliminación
Ecuación:
\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} 3x + 4y &= 10 \\ 2x - y &= 5 \end{aligned} \right. \end{equation*}
Paso 1: Multiplica la ecuación (2) por 4: $$ 8x - 4y = 20 $$
Paso 2: Suma las ecuaciones (1) y (3): $$ 11x = 30 \Rightarrow x = \frac{30}{11} $$
Paso 3: Reemplaza $ x = \frac{30}{11} $ en la ecuación (2): $$ y = \frac{5}{11} $$
Solución: $ x = \frac{30}{11} $, $ y = \frac{5}{11} $. Verificación: - Ec. (1): $ 3\left(\frac{30}{11}\right) + 4\left(\frac{5}{11}\right) = \frac{90 + 20}{11} = \frac{110}{11} = 10 \checkmark $
Aplicaciones en Problemas de la Vida Cotidiana
Ejemplo: Un estudiante compra 2 lápices y 3 cuadernos por $12. Otra vez compra 1 lápiz y 2 cuadernos por $7.
Escribirla en forma algebraica de ecuaciones:
\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} 2x + 3y &= 12 \\ x + 2y &= 7 \end{aligned} \right. \end{equation*}
Paso 1: Despeja x = 7 - 2y
Paso 2: Sustituye en la ecuación (1ra. ecuación):
$$ 2x + 3y = 12 $$
$$ 2(7 - 2y) = 12 $$
$$ 14 - 2y = 12 $$
$$ -4y + 3y = 12 - 14 $$
$$ -1y = -2 $$
$$ y = -2/-1 $$
$$ y = 2 $$
2x + 3y = 122(7 - 2y) + 3y = 12
14 - 4y + 3y = 12
-4y + 3y = 12 - 14
-1y = -2
y = (-2)/(-1)
y = 2
Paso 3: Reemplaza y = 2 y x = 7: en la ecuación x+2y = 7
7 + 2(2) = 7
x = 7 - 4 = 3
Solución: Lápiz cuesta $3, cuaderno cuesta $2.
Ejercicios de Práctica
- Resolver el sistema: \begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} 5x + 2y &= 14 \\ x - y &= 1 \end{aligned} \right. \end{equation*}
- Resolver usando eliminación: \begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} 4x + 6y &= 30 \\ 3x + 2y &= 15 \end{aligned} \right. \end{equation*}
- Problema de palabras: Un coche consume 5 litros por cada 100 km y otro 7 litros. Entre ambos consumen 4 litros en un viaje. ¿Cuántos kilómetros recorren si usan 2 litros?
Nota: Verifica siempre las soluciones sustituyéndolas en ambas ecuaciones. Practica con ejercicios sencillos antes de problemas complejos.
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